Скачать

Анализ цепи во временной области методом переменных состояний при постоянных воздействиях

АНАЛИЗ ЦЕПИ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ ПРИ ПОСТОЯННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Дано:

Для схемы:

U 0 (t)= U 0 =const U 0 =5 В

i 0 (t)=I 0 d 1 (t) I 0 =2 A

  • Составить уравнения состояния для цепи при t і 0.
  • Переменными состояния для данной схемы будут являться напряжения на емкостях С 1 и С 4 . Для нахождения уравнений состояния запишем уравнения по I и II законам Кирхгофа:

    (1)

    Для нахождения производных переменных состояния решим следующую систему, полученную из системы (1), приняв за неизвестные все токи, участвующие в системе (1) и первые производные переменных состояния. Переменные состояния примем за известные величины для получения их в правой части уравнений состояния:

    (2)

    Решаем эту систему в матричном виде с помощью MathCad:

    1.2 Найти точные решения уравнений состояния

    Сначала найдем корни характеристического уравнения как собственные числа матрицы, составленной из коэффициентов при переменных состояния в уравнениях состояния:

    Общий вид точных решений уравнений состояния:

    Вынужденные составляющие найдем как частное решение уравнений состояния, учитывая то, что если в цепи включены только постоянные источники питания, значит, и принужденные составляющие будут константами, соответственно производные принужденных составляющих будут равны нулю. Учитывая выше сказанное, найдем их из уравнений состояния следующим способом:

    Начальные условия (находятся из схемы):

    Для нахождения постоянных интегрирования A 1 , A 2 , A 3 , A 4 требуется 4 уравнения. Первые два уравнения получим из выражений точного решения уравнений состояния, учитывая законы коммутаций: переменные состояния не меняют своего значения в момент коммутации

    При t=0:

    Далее найдем значения производных переменных состояния при t=0 из уравнений состояния:

    Выражения эти производных найденные из выражений решения уравнений состояния:

    При t=0:

    Таким образом имеем 4 уравнения для нахождения постоянных интегрирования, находим их:

    Точные решения уравнений состояния:

  • Найти решения уравнений состояния, используя один из численных методов.
  • Для численного решения уравнений состояния воспользуемся алгоритмом Эйлера:

    Подставляя выражения производных из уравнений состояния:

    h – шаг расчета =2*10 -6 с. i=1…100. Переменными с нулевыми индексами являются значения начальных условий

    1.2.2 Найти точные решения уравнений состояния.(второй способ)

    e (A)t = a 0 + a 1 (A) e (A)t =

    (X) = (e (A)t -1)(A) -1 (B)(V)

    1.4 Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменной состояния

    Часть 2

    Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии

    Анализу подлежит следующая цепь:

    Параметры импульса: U m =10 В t u =6*10 -5 c

    Форма импульса:

    2.1 Определить функцию передачи:

    воспользуемся методом пропорциональных величин и определим u(t)=1(t), его Лапласово изображение U 0 (s)=1/s

    Запишем уравнения по законам Кирхгофа в операторной форме, учитывая, что начальные условия нулевые:

    Решаем эту систему:

    Таким образом:

    Функция передачи:

    2.2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты. Полюсы:

    Нули:

    Плоскость комплексной частоты:

    2.3 Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения.

    Импульсная характеристика:

    Выделим постоянную часть в H U (s):

    Числитель получившейся дроби:

    Упрощенное выражение H U (s):

    Для нахождения оригинала воспользуемся теоремой о разложении. Для этого найдем производную знаменателя:

    Коэффициенты разложения:

    Оригинал импульсной характеристики:

    Переходная характеристика:

    Этим же методом находим оригинал характеристики:

    2.4 Определить изображение по Лапласу входного импульса

    Изабражение по Лапласу фукции f(t):

    Входной импульс представляет собой функцию

    Поэтому изображение входного сигнала будет

    2.5 Найти напряжение на выходе схемы, используя H U (s)

    Изображение выходного сигнала:

    Найдем отдельно оригиналы части выражения при и при части, не имеющей этого множителя:

    Для части выражения при ,используя теорему о разложении:

    Для части выражения не имеющей множителя ,используя теорему о разложении:

    Функция напряжения на выходе схемы, получена с использованием теоремы о смещении оригинала:

    2.6 Построить на одном графике переходную и импульсную характеристики цепи, на другом – входной и выходной сигналы

    Переходная h 1 (t) и импульсная h(t) характеристики

    Входной и выходной сигналы

     

    Часть 3

    Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии

    3.1 Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амлитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики функций передачи H U (s)

    амплитудно-фазовая характеристика:

    амплитудно-частотная характеристика:

    фазо-частотная характеристика:

    График АЧХ:

    График ФЧХ:

    3.2 Определить полосу пропускания цепи по уровню 0.707

    Из графика АЧХ находим полосу пропускания цепи: с -1

    3.3 Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала по уровню 0.1

    Амплитудный спектр входного сигнала:

    Фазовый спектр входного сигнала:

    График амплитудного и фазового спектра входного сигнала:

    Ширина спектра с -1

    3.4 Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, дать предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи

    Существенная часть амплитудного спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания, исключая полосу 0-5*10 4 с -1 , где и будут наблюдаться основные амплитудные искажения. Фазо-частотная характеристика цепи нелинейна, поэтому здесь будут иметь место фазовые искажения, что видно на рис

    3.5 Найти и построить амплитудный и фазовый спектр выходного сигнала

    Получаются по формулам:

    3.6 Определить выходной сигнал по вещественной частотной характеристике, используя приближенный метод Гиллемина.

    Вещественная характеристика:

    Существенную часть этой характеристики кусочно-линейно аппроксимируем. Начертим первую и вторую производную кусочно-линейной аппроксимирующей функции

    График вещественной характеристики:

    Тогда:

    График напряжения, вычисленного по этой формуле, и полученный в ч.2

    Часть 4

    Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии

    Дано: T=18*10 -5 c. U m =10 В. t u =6*10 -5 c

    форма сигнала u 0 (t):

    4.1 Разложить в ряд Фурье заданную периодическую последовательность импульсов и построить ее амплитудный и фазовый спектры.

    Коэффициенты ряда Фурье для u 0 (t) найдём из следующего соотношения:

    где w 1 = 2 p /Т , k=0, 1, 2, ... w 1= 3.491*10 4 с.

    Значения A k и a k приведены в табл. ,на рис. , построены соответственно амплитудный и фазовый спектры заданной периодически последовательности сигналов u 0 (t).

    k

    A k

    a k

    0

    0

    0

    1

    2.067

    0.524

    2

    3.308

    -0.524

    3

    2.774

    -1.571

    4

    2.363

    -2.618

    5

    1.034

    2.618

    6

    0

    1.571

    7

    0.413

    -2.618

    8

    0.301

    2.618

    9

    0

    1.571

    Таким образом, в соответствии с шириной спектра

    4.2 Построить на одном графике заданную периодическую последовательность импульсов и ее аппроксимацию отрезком ряда Фурье, число гармоник которого определяется шириной амплитудного спектра входного сигнала, найденной в п 3.3

    4.3 Используя рассчитанные в п. 3.1 АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи, определить напряжение или ток на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье.

    Для определения коэффициентов ряда Фурье выходного напряжения вычислим значения АЧХ и ФЧХ функции передачи для значений k w 1 , k=0, 1, 2, ..., 8. Тогда

    k

    A k

    a k

    0

    0

    0

    1

    0.208

    1.47

    2

    0.487

    -0.026

    3

    0.436

    -1.355

    4

    0.361

    -2.576

    5

    0.15

    2.554

    6

    0

    1.443

    7

    0.054

    -2.785

    8

    0.037

    2.429

    9

    0

    1.371

    В итоге получим: