Скачать

Краевые задачи и разностные схемы

Реферат з курсу “Введение в численные методы

Тема: “КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ”


Содержание

1. Приведение к системе уравнений первого порядка

2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений

3. Разностные системы уравнений для краевых задач

4. Краевые задачи второго порядка

5. Разностные схемы для уравнений в частных производных

6. Повышение точности разностных схем

7. Сеточные методы для нестационарных задач

Литература


1. Приведение к системе уравнений первого порядка

Для решения систем дифференциальных уравнений высокого порядка методами конечных разностей в первую очередь возникает потребность преобразования исходной системы в систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим образом преобразованными начальными или граничными условиями. И уже далее реализовывать численную процедуру решения.

Преобразование в систему уравнений первого порядка не единственно. Наиболее популярные из них в большинстве своем касаются линейных систем с постоянными или переменными коэффициентами. Основная идея всех методов состоит во введении новых переменных и выполнении замены высших производных этими переменными.

Пусть неоднородное дифференциальное уравнение высокого порядка задано в виде:

где – соответственно i-тая производная искомого решения и ее значение в начальный момент,

– функция, описывающая внешнее воздействие на динамический объект.

Обозначим первую производную искомой функции новой переменной , первую производную – следующей переменной: , первую производную – переменной и т.д.. Таким образом из исходной системы мы сформируем дифференциальное уравнение первого порядка:

При таких заменах производных искомой функции ее -ная производная оказывается равной первой производной от :

В результате, эквивалентная система дифференциальных уравнений первого порядка примет следующий вид:

В случае, когда правая часть представлена взвешенной суммой функции и ее производных и в целом дифференциальное уравнение имеет вид

то его преобразование в систему уравнений первого порядка с новыми переменными осуществляется по следующим формулам:

Такое преобразование сохраняет коэффициенты исходного уравнения неизменными и исключает производные в правой части от . Начальные условия для новых переменных здесь приходится пересчитывать по достаточно сложным соотношениям.

И, наконец, приведем еще один вариант разложения на систему уравнений первого порядка исходного неоднородного уравнения с производными в правой части:

Замена переменных в отличие от предыдущего случая производится без сохранения коэффициентов исходного уравнения:

Производные искомой функции можно выразить через вновь введенные переменные путем многократного дифференцирования левой и правой части соотношения для y с подстановкой после каждого дифференцирования производных :

Умножив каждое выражение для на коэффициенты и просуммировав правые и левые члены равенств, получим уравнение, которое отличается от исходного лишь коэффициентами при производных в правых частях. Чтобы добиться тождественности, необходимо коэффициенты при соответствующих производных приравнять и разрешить полученную систему уравнений относительно неизвестных .

Система уравнений имеет вид:

В векторно-матричной форме это уравнение и его решение записываются в следующем виде:

где – вектор известных коэффициентов,

– вектор искомых коэффициентов,

– соответственно прямая и обратная верхне-треугольные матрицы коэффициентов. Первая из них выглядит так:

.

Обратная матрица удобна при использовании математических пакетов для решения векторно-матричного уравнения. Если , то коэффициенты легко вычисляются последовательной подстановкой значений , начиная с .

Начальные условия для вычисляются по выражениям для следующим образом:

или в векторно-матричной форме:

,

.

2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений

Представление системы дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями

можно заменить системой конечно-разностных уравнений первого порядка с целочисленной независимой переменной i ():

,

погрешность аппроксимации которого пропорциональна сеточному шагу h.

Выше было уже показано, как можно уменьшить погрешность аппроксимации, делая ее пропорциональной . В частности это можно сделать, использовав среднее арифметическое двух разностей первого порядка: “вперед” и “ назад”.

При такой замене производной мы получаем систему разностных уравнений, состоящую из разностных уравнений второго порядка, требующих, кроме известного вектора начальных условий , еще один дополнительный вектор :

.

Дополнительный вектор начальных условий достаточно вычислить по формуле Эйлера. Он и определит дополнительное начальное условие с ошибкой, пропорциональной второй степени h:

Подстановка таких начальных условий в решение сохранит погрешность результатов на уровне . В таком случае говорят, что разностная схема имеет второй порядок точности.

3. Разностные системы уравнений для краевых задач

Исходные дифференциальные уравнения во многих физических и технических применениях решаются для случаев, когда заданы значения искомых функции и/или ее производных в различных точках интервала интегрирования и, в частности - на концах интервала. Такого рода уравнения в обыкновенных производных или системы из таких уравнений называются краевой задачей.

Общим методом решения краевой задачи является преобразование ее в систему алгебраических уравнений относительно множества неизвестных значений искомой функции, выбранных в точках, равномерно расположенных на оси абсцисс, т.е. заданных на сетке известных значений независимой переменной.

Для линейной системы уравнений первого порядка, записанной в матричной форме относительно вектора как

,

обязательно задается полный набор краевых условий , включающий хотя бы одно значение , или набор комбинаций из значений и

Обычно задаваемое граничное значение совмещается с тем или иным n-ным сеточным значением независимой переменной. Это позволяет обходиться без преобразования граничных условий к ближайшей точке сетки. Векторы , , и матрица в общем случае приводятся к единичному интервалу изменения независимой переменной с помощью линейного преобразования , в котором с шагом по оси абсцисс равном . Благодаря этому производные в левых частях единообразно заменяются (M+1)-точечными конечно-разностными выражениями через искомые значения решения:

.

Многоточечные представления производных получаются путем применения существующих соотношений между операторами дифференцирования, конечных разностей и сдвига:

Чтобы выразить значение производной порядка k в m-той точке целочисленного интервала (0, ) через ординаты функции необходимо выполнить следующие операторные преобразования:

Заменив конечно-разностные операторы (после приравнивания нулю разностей со степенями выше ) выражениями с оператором сдвига и вспомнив, что , получим в результате для k-той производной в m-той точке взвешенную сумму из ординат искомой функции:

.

Погрешность аппроксимации дифференциального оператора конечно-разностным оператором для центральной точки (m=n/2) пропорциональна с наименьшим коэффициентом величине и c наибольшим – для точек конца интервала.

Часто применяемые выражения конечно-разностной аппроксимации производных первого и второго порядков по трем-семи равномерно расположенным точкам приведены ниже в таблицах в виде коэффициентов, стоящих перед соответствующими ординатами функции. В левом верхнем углу таблиц записан общий множитель, а в крайней правой колонке – коэффициенты k1, k2для формул погрешности.


Трех точечная аппроксимация первой производной

y(0)

y(1)

y(2)

y’(0)

-34-12

y’(1)

-101-1

y’(2)

1-432

Четырех точечная аппроксимация первой производной

-1118-92-3

-2-36-11

1-632-1

-29-18113

Пятиточечная аппроксимация первой производной

-2548-3616-312

-3-1018-61-3

1-808-12

-16-18103-3

3-1636-482512

Шести точечная аппроксимация первой производной

-137300-300200-7512-10

-12-65120-6020-32

3-30-2060-152-1

-215-602030-31

3-2060-1206512-2

-1275-200300-30013710

Семи точечная аппроксимация первой производной

-147360-450400-22572-1060

-10-77150-10050-152-10

2-24-3580-308-14

-19-45045-91-3

1-830-803524-24

-215-50100-1507710-10

10-72225-400450-36014760

Трех точечная аппроксимация второй производной

1-21-12 , 2

1-210 , -1

1-2112 , -2

Четырех точечная аппроксимация второй производной

2-54-155 , -6

1-210-5 , -2

01-21-5 , -2

-14-5255 , -6

Пятиточечная аппроксимация второй производной

35-104114-5611-150 , 12

11-2064-115 , -3

-116-3016-10 , 2

-146-201115 , 3

11-56114-10435150 , -12

Шести точечная аппроксимация второй производной

225-7701070-780305-50

50-75-2070-305

-580-15080-50

0-580-15080-5

5-3070-20-7550

-50305-7801070-770225

Семи точечная аппроксимация второй производной

812-31325265-50802970-972137

137-147-255470-28593-13

-13228-42020015-122

2-27270-490270-272

2-1215200-420228-13

-1393-285470-255-147137

137-9722970-50805265-3132812

Например, производная первого порядка в точках m=0, 3, 5 для семи точечной аппроксимации будет иметь вид:

,

.

Аналогично выписываются выражения и для вторых производных в точках 0 и 2:

Таким образом, из приведенных таблиц можно выбрать аппроксимирующие выражения для производной в данной точке, включающие значения функции в точках нужного окружения.

4. Краевые задачи для уравнений второго порядка

При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.

Преобразование их в конечно-разностную систему алгебраических уравнений осуществляется аналогично: для каждой точки в области (интервале) интегрирования, где не задано краевое или граничное значение искомой функции, записывается исходное уравнение, в котором все производные выражены через заранее определенное число близлежащих ординат искомой функции, принадлежащих области, и вычислены все коэффициенты и функции независимых переменных в этой точке. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области. В результате будет сформирована алгебраическая система уравнений с числом уравнений и неизвестных, равном общему числу точек области интегрирования.

В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Это достигается многократным применением оператора сдвига к соответствующему конечно-разностному оператору.

Если в центральных точках точность аппроксимации производных с точками удовлетворяет поставленным требованиям и эту точность желательно сохранить и в приграничных точках заданных областей, то для последних выбирают аппроксимирующие формулы, построенные для (+1)-й точки или более.

Рассмотрим примеры аппроксимации дифференциальных уравнений с краевыми условиями конечно-разностной системой алгебраических уравнений. Эти аппроксимации в литературе получили название "разностные схемы". Ниже в четырех таблицах приведены четыре варианта конечно-разностной аппроксимации одной и той же краевой задачи, для которой известно точное решение. Вид уравнения, условия на границе интервала, решение аналитическое и вычисленное в заданных точках с 12 значащими цифрами приведены в правой крайней колонке первой таблицы. В левых колонках первой и в трех остальных таблицах записаны системы алгебраических уравнений, полученных применением трех-, пяти-, пяти-шести- и семи точечной аппроксимации второй производной в заданном уравнении. Справа от уравнений приведены решения алгебраических уравнений тоже с 12-ю значащими цифрами.

Система уравнений с трехточечным представлением производных

Вектор разностного решения с шагом h=0.1

-199+100+0.1=0

0.01865909897120.0186415437361

100-199+100+0.2=0

0.03613160644730.0360976603850

100-199+100+0.3=0

0.05124279538900.0511947672548

100-199+100+0.4=0

0.06284153005460.0627828520998

100-199+100+0.5=0

0.06981187536740.0697469636621

100-199+100+0.6=0

0.07108408471370.0710183518969

100-199+100+0.7=0

0.06564551422310.0655851465687

100-199+100+0.8=0

0.05255044843040.0525024675253

100-199+0.9=0

0.03092987578560.0309018656257