Скачать

Математика

Канашский филиал

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

По математике

Вариант 3

Студента 1 курса экономического факультета

Шифр: 04653033 Учебная группа: 53-06

Работа выслана в Чувашский госуниверситет

«____» ____________2006 г.

Передана на кафедру «Экономики и управления»

Оценка___________ «___» _____________2006г.

Преподаватель: Бычков Владимир Порфирьевич

Возвращена в деканат______________________


Математика

Вариант 3

Даны вершины А(х11) ,В(х22), С(х33) треугольника. Требуется найти: 1)длину стороны ВС; 2)площадь треугольника; 3)уравнение стороны ВС; 4)уравнение высоты проведенной из вершины А; 5)длину высоты проведенной из вершины А; 6)уравнение биссектрисы внутреннего угла ;

7)угол в радианах с точностью до 0,01; 8)систему неравенств определяющих множество точек треугольника. Сделать чертеж.

вариант 3: А(5;-1), В(1;-4), С(-4;8).

Решение:

1)Длина стороны ВС:

;

2)Длина стороны АВ:

;

Скалярное произведение векторов и

Угол :

cos= ; =arcos 0,2462=75,75

3) Уравнение стороны ВС:

; ; ; ; ;

4) Уравнение высоты, проведенной из вершины А:

; ;

Условие перпендикулярности двух прямых:

; ;

; ; ; ;

5) Длина высоты, проведенной из вершины А:

6)

Уравнение прямой АС:

Уравнение биссектрисы внутреннего угла :

7) Угол в радианах с точностью до 0,01:

8) Уравнение стороны ВС:

Уравнение стороны АС:

Уравнение стороны АВ:

Система неравенств, определяющих множество внутренних точек треугольника.

Задание 13.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4;1) на расстоянии 4 единиц от точки В(-4;0).

Решение:

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку А:

По условию задачи

Искомые прямые:

Задание 23.

Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки F(8;0) вдвое больше, чем от прямой Х-2=0. Сделать чертеж.

Решение:

По условию задачи:

- уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями

Задание 33.

Составить уравнение параболы и ее директрисы, если известно что парабола проходит через точки пересечения прямой с окружностью и ось является осью симметрии параболы. Сделать чертеж.

Решение.

Рассмотрим уравнение окружности:

Найдем точки пересечения окружности и прямой.

Координаты точек пересечения окружности и прямой т.к. парабола симметрична относительно ОХ, то уравнение имеет вид учитывая что найдем параметр

Таким образом, уравнение параболы

Уравнение директрисы параболы:

Задание 43.

Дано уравнение параболы f(xy)=0. Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Yуравнение параболы приняло вид X2=aY или Y2=aX. Построить обе системы координат и параболу.

Решение:

Задание 53

Даны вершины А11;Y1Z1),. А22;Y2Z2), А33;Y3Z3), А44;Y4Z4)

пирамиды. Требуется найти: 1) длину ребра А1А2; 2)Угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3)угол между ребром А1А2и гранью А1А2 А3; 4) площадь грани А1А2 А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины А4на грань А1А2 А3; 7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А4 на грань А1А2 А3, и вершину А1пирамиды.

A1(3;5;4), А2(5;8;3), А3(1;9;9), A4(6;4;8);

Решение:

1)

Длина ребра А1А2;

2)

Длина ребра А1А4;

Скалярное произведение векторов А1А2 и А1А4:

Угол между ребрами А1А2 и А1А4:

3) Уравнение грани А1А2 А3:

Угол между ребром А1А2и гранью А1А2 А3:

4)Площадь грани А1А2А3:

кв. ед.

5) Объем пирамиды:

куб. ед.

6) уравнение высоты, опущенной из вершины А4на грань А1А2 А3:

7) Уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А4 на грань А1А2 А3, и вершину А1пирамиды.

Задание 63.

Определить вид поверхности, заданной уравнением f(xyz)=0, и показать её расположение относительно системы координат.

Решение:

Эллиптический параболоид с вершиной О(zoo), направленный вдоль оси ОХ, и имеющий полуоси на оси по оси

Задание 73.

Применяя метод исключения неизвестных, решить систему уравнений.

Решение:

2-9-4-33-83

= >

= >

0-47-28-137-459
2-7-2-1-4-570-45-26-110-433
7-62-20-350-139-82-37-14-1351
119125-2188119125-2188
0-47/7-4-13/71-459/7068/7730/7701980/77
0-45-26-110-433045/1126/1110433/11
0-233-138-630-22690272/11120/11002320/11
139/743/70398/7194/77-190/7700481/77

00001-2900/77

0-19/15010-2583/11

013,6100116

11574/23100022521/77

Общее решение системы:

Задание 83.

Даны векторы и . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение:

Составим определитель из координат векторов и вычислим его:

Так как ,то векторы составляют базис. Найдем координаты вектора в этом базисе:


2-100-4-42= >0-204-4-88= >048-12252
4-9103-430-29183-1350-8030-350
2-70-1-390-174-1-85017-485
15-202315-202315-223
0-410-21= >00103
0400024001006
010110001-5
1-300-191000-1

Итак

Проверка:

2(-1)-10*6 -4(-5)=-42; -42=-42;

4(-1)-9*6+10*3+3(-5)=-43; -43=-43;

2(-1)-7*6- -(-5)=-39; -39=-39;

-1+5*6-2*3 =23; 23=23.

или

Задание 93.

Дана матрица А . Требуется найти: 1) матрицу, обратную матрице А;

2) собственные значения и собственные векторы матрицы А.

Решение:

-1-21210012-12-100
0430100