Скачать

Методика економіко-математичного програмування

Завдання 1

Для виготовлення виробів №1 і №2 є 100 кг металу. На виготовлення виробу №1 витрачається 2 кг металу, а на виріб №2 – 4 кг.

Скласти план виробництва, що забезпечує одержання найбільшого прибутку від продажу виробів, якщо відпускна вартість одного виробу №1 становить 3 грн. од., а виробу №2 – 2 грн. од., причому виробів №1 потрібно виготовити не більше 40 штук, а виробів №2 – 20 шт.

Розв’язок

Складаємо математичну модель задачі. Позначимо через х1 кількість виробу №1, що виготовляє підприємство за деяким планом, а через х2 кількість виробу №2. Тоді прибуток, отриманий підприємством від реалізації цих виробів, складає

∫ = 3х1+2х2.

Витрати сировини на виготовлення такої кількості виробів складають відповідно:

CI =2х1+4х2,

Оскільки запаси сировини обмежені, то повинні виконуватись нерівності:

2х1+4х2≤100

Окрім того, виробів №1 потрібно виготовити не більше 40 штук, а виробів №2 – 20 шт., тобто повинні виконуватись ще нерівності: х1≤40, х2≤20.

Таким чином, приходимо до математичної моделі:

Знайти х1, х2такі, що функція ∫ = 3х1+2х2досягає максимуму при системі обмежень:

Розв'язуємо задачу лінійного програмування симплексним методом.

Для побудови першого опорного плану систему нерівностей приведемо до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних.

2x1 + 4x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 = 100

1x1 + 0x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 40

0x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 20

Матриця коефіцієнтів A = a(ij) цієї системи рівнянь має вигляд:

Базисні змінні це змінні, які входять лише в одне рівняння системи обмежень і притому з одиничним коефіцієнтом.

Вирішимо систему рівнянь відносно базисних змінних:

x3, x4, x5

Вважаючи, що вільні змінні рівні 0, отримаємо перший опорний план:

X1 = (0,0,100,40,20)

Оскільки завдання вирішується на максимум, то ведучий стовпець вибираємо по максимальному негативному кількістю та індексного рядку. Всі перетворення проводимо до тих пір, поки не вийдуть в індексному рядку позитивні елементи.

Складаємо симплекс-таблицю:

Оскільки, в індексному рядку знаходяться негативні коефіцієнти, поточний опорний план неоптимальний, тому будуємо новий план. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х1, оскільки значення коефіцієнта за модулем найбільше.

Даний план, також не оптимальний, тому будуємо знову нову симплексну таблицю. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х2.

Оскільки всі оцінки >0, то знайдено оптимальний план, що забезпечує максимальний прибуток: х1=40, х2=5. Прибуток, при випуску продукції за цим планом, становить 130 грн.

Завдання 2

Записати двоїсту задачу до поставленої задачі лінійного програмування. Розв’язати одну із задач симплексним методом і визначити оптимальний план іншої задачі.

Розв’язок

Розв’яжемо задачу лінійного програмування симплексним методом.

Визначимо мінімальне значення цільової функції F(X) = x1+3x2при наступних умовах-обмежень.

9x1+10x2≥45

5x1-x2≤42

-x1+13x2≤4

Для побудови першого опорного плану систему нерівностей приведемо до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних.

9x1 + 10x2-1x3 + 0x4 + 0x5 = 45

5x1-1x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 42

-1x1 + 13x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 4

Введемо штучні змінні x.

9x1 + 10x2-1x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 45

5x1-1x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 42

-1x1 + 13x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 4

Для постановки задачі на мінімум цільову функцію запишемо так:

F(X) = x1+3x2+Mx6 =>min

Вважаючи, що вільні змінні рівні 0, отримаємо перший опорний план:

X1 = (0,0,0,42,4,45).

Переходимо до основного алгоритму симплекс-методу.

Оскільки, в індексному рядку знаходяться позитивні коефіцієнти, поточний опорний план неоптимальний, тому будуємо новий план. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х2, оскільки значення коефіцієнта за модулем найбільше.

Даний план, також не оптимальний, тому будуємо знову нову симплексну таблицю. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х1.