Затухание ЭМВ при распространении в средах с конечной проводимостью

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Харьковский национальный университет

им. В.Н. Каразина

Радиофизический факультет

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

«Затухание ЭМВ при распространении в средах с конечной проводимостью»

Руководитель:

Колчигин Н.Н.

Студент группы РР-32

Бойко Ю.В.

Харьков 2004

Содержание

Введение 4

Основная часть 5

1. Вывод уравнений для плоских волн 5

2. Связь характеристик распространения с параметрами среды 9

3. Вычисление затухания в данной среде 14

Список использованной литературы 15

ЗАДАНИЕ

1.Изучить общие сведения и формулы.

2.Построить зависимость электрической компоненты поля от глубины проникновения.

3.Вычислить затухание на глубине Н=0,5 м, λ=10 м, в пресной воде (ε=80, σ=10-3 См/м)

Введение

Распространение электромагнитных волн широко рассматривается в литературе, но в ней большое внимание уделяется распространению волн в диспергирующих средах и законам геометрической оптики. В данной работе рассматривается связь характеристик распространения с параметрами среды и затухание элекромагнитных волн в средах с конечной проводимостью

Основная часть

1. Вывод уравнений для плоских волн

Рассмотрим электромагнитный волновой процесс, векторы и которого могут быть представлены в виде

=(ξ,t), =(ξ,t) (1.1)

Рис. 1.1. Направление распространения плоской волны

Здесь (рис. 1.1.) есть расстояние от начала координатной системы до плоскости

а является постоянным единичным вектором. Так как производные по координатам будут равны и т. д., то

(1.2)

(1.3)

Следовательно, для плоской волны уравнения Максвелла принимают вид

(1.4)

Последние два уравнения означают независимость проекций и на направление распространения от координаты ξ, т. е. Eξ =const и Hξ=const в данный момент времени. Исследуем их поведение во времени. Для этого второе уравнение (1.4) умножим скалярно на :

Так как

то

или , т.е. dHξ = 0, Hξ = const. Для исследования поведения Eξ умножим скалярно первое из уравнений (1.4) на :

Так как , получаем

Прибавим к этому равенству

Следовательно, при конечной σ компонента Eξ экспоненциально убывает со временем, т. е. статическое электрическое поле не может поддерживаться внутри проводника.

Найдем уравнения для и отдельно. Для этого продифференцируем по t первое из уравнений (1.4)

Найдем из второго из уравнений (1.4), продифференцировав его по ξ:

Получаем

откуда

, так как

Отсюда следует

(1.6)

Аналогично

(1.7)

Эти уравнения можно решить методом разделения переменных, идем решение для комплексной амплитуды Е поля , Положив

E=f1(ξ)f2(ξ)

Получаем

(1.8)

Общее решение для f1 будет

Частное решение для f2 возьмем в виде

Таким образом, решением для будет выражение

Решая уравнение (1.7), получим аналогичное решение для

Подставив эти значения во второе из уравнений (1.4), получим

откуда

Так как ξ в этом равенстве может принимать любые значения, коэффициенты при экспонентах должны равняться нулю:

Поэтому

(1.9)

Отсюда следует ()=0 (так как (())=0), т. е. векторы и ортогональны к направлению и друг к другу.

2. Связь характеристик распространения с параметрами среды

Установим связь между р и k. Из (1.8) получим

(2.1)

Если задана периодичность в пространстве, т. е. k, то р можно найти из уравнения (2.1)

Тогда

где

Распространение возможно, если q действительно. Волновой процесс, в котором поверхности равных амплитуд и поверхности равных фаз являются плоскостями, называется плоской волной. Простейшим случаем плоской волны является плоская однородная волна. В плоской однородной волне плоскости равных амплитуд совпадают с плоскостями равных фаз. Фазовая скорость такой волны будет равна

Если , то q — мнимое, и распространения нет: существует

пространственная периодичность по ξ и монотонное затухание. Начальная форма волны не смещается вдоль оси ξ, волновое явление вырождается в диффузию.

Частный случай временной зависимости р = iω. Тогда

(2.2)

Таким образом, при волновое число k комплексно. Обозначим k=α+iβ, где α — фазовая константа, β — коэффициент затухания. Тогда

(2.3)

Следовательно, при р=iω имеет место волновой процесс с затуханием, если .

Исследуем фазовую скорость волны в среде с конечными ε и σ. Поскольку волновое число комплексно: k=α+iβ, имеем

(2 считаем равным нулю).

В общем случае 1 также комплексно: ,

где α, β, , θ — действительные числа. Отсюда получаем выражение фазовой скорости

Действительно, так как представляет скорость, с которой движется плоскость постоянной фазы

=const

то

откуда

Для определения степени затухания и фазовой скорости нужно вычислить α и β. Из уравнений (2.3) получаем

Введем обозначение

тогда

или

Здесь нужно оставить знак +, так как α — действительное число

(2.4)

Аналогично получим для β

(2.5)

Отсюда находим фазовую скорость

(2.6)

Зависимость фазовой скорости от частоты сложная: если ε, μ, σ не зависят от частоты, то с увеличением ω фазовая скорость увеличивается, т. е. в сложной волне гармоники убегают вперед.

Рассмотрим зависимость поглощения β, определяемого равенством (2.5), от электрических характеристик среды. Член представляет отношение , так как . Следовательно,