Скачать

Оптимизация показателей

Для вирішення задачі лінейного програмування, потрібно записати вихідну задачу в формі задачі лінейного програмування, а потім застосовувати симплекс-метод . Основною задачею лінійного програмування – задача для якої:

1. потрібно визначити максимальне значення ф-ції

2. всі обмеження записані в вигляді рівностей

3. для всіх змінних виконується умова невідємності

Якщо обмеження має вид нерівності зі знаком >=, то шляхом множення його на (-1) переходять до нерівності зі знаком <=.

Від обмежень нерівностей необхідно перейти до обмежень рівностей. Такий перехід виконується шляхом введення в ліву частину кожної нерівності додаткових незалежних невідємних змінних. При цьому знак нерівності міняють на знак рівності.

Вихідне завдання:

F = 5х1 +6х2 max

-10x1 - 6x2 ³-60

-4x1 + 9x2 £ 36

4x1 - 2x2 £ 8

x1,x2³0 x1,x2-цілі числа

Основна задача:

F = 5х1 +6х2 max

10x1 + 6x2 + х3 =60

-4x1 + 9x24= 36

4x1 - 2x25 = 8

x1,x2,x3,x4,x5³0 x1,x2-цілі числа

Кожній змінній в системі відповідає свій вектор – стовпець. Вектор – стовпець Ро складається із значень правих частин рівнянь і називається вектором вільних членів.

Виходячи з основного завдання, складаєм симплекс-таблицю.

№ рядкаБазис

Сб

Р0

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

1

Р3

06010

Овал: 96

100
2

Р4

036-49010
3

Р5

084-2001
4F0-5-6000

Таблиця № 1 – Вихідна симплекс-таблиця


Знаходження оптимального розвязку ЗЛП за допмогою с-м включає слідуючі етапи:

1. За вихідною с-т знаходять опорне рішення

Кожній с-т відповідає своє опорне рішення. Воно може бути представлене у вигляди вектора Х Розмірніст вектора дорівнює кількості змінних в основній задачі.

Кожній змінній в симплекс таблиці відповідає свій вектор. Змінній x1—вектор Р1 і т.д.

Вектор Р0 складений із вільних членів рівнянь. Кожний рядок симплекс-таблиці – рівняння відповідно. Четвертий рядок—рядок оцінок в ньому записують коефіцієнти при змінних в цільовій ф-ції з протилежним знаком і визначається розв’язуємий стовпець, беруться модулі від’ємних чисел з цієї строки. В векторі Х кожній змінній відповідає певна компонента. Змінній х1 перша компонента змінній х2—друга. Значення компонент визначають слідуючим чином, якщо вектор базисний, то компонента дорівнює значенню компоненти вектора стовпця Р0 з того рідка де в базисі стоїть 1.

У вихідній таблиці вектори Р1, Р2 – не базісні, тобто в Х – перша и друга компоненти = 0

Х=(0;0;60;36;8)

2. Зясовують, мається хочаб одне відємне значення врядку оцінок ( рядок 4) Якщо нема – то план оптимальний, якщо є – треба переходити до новій с-т.

Рядок оцінок має (-5) та (-6), отже данний опорний план – не оптимальний.

3. Знаходять визначальний стовпець. Стовпець називають визначальним, якщо в рядку оцінок у нього найбільше за модулем значення. Маємо стовпець Р2 |-6|>|-5|

4. Знаходимо визначальний рядок. Визанчальним назівається такий рядок, який відповідає найменшому з відношень компонентів стовпця Ро до додатніх компонентів визначального стовпця. (Рядок оцінок до уваги не приймається)

Min = ( 60/6; 36/9) = 4 – рядок 2.

5. Будують наступну с-т .

Для цього кожний елемент таблиці перераховуємо за формулою

aij=aij- (аіk* аnj)/ank де k-номер розв’язувального стовпця, а n- номер розв’язувального рядка

aij—елемент строки- і, стовпця- j нової сиплекс таблиці

aij—елемент строки- і, стовпця-j попередньої симплекс-таблиці

аіk-- елемент що знаходиться у визначальному стовпці попер. с-т.

аnj-- елемент що знаходиться у визначальному рядку попер с-т.

ank – элемент що стоїть на перехресті визн рядка и строки у попер сим-т.

a10= 60 – (36*6)/9 = 36

a11= 10 +(6*4)/9 = 38/3

№ рядкаБазис

Сб

Р0

Овал: 38/3Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

1

Р3

03600-1 1/5

0

2

Р2

64-4/9111/50
3

Р5

01628/9003/51
4F24

-23/3

001 1/50

Таблиця № 2

Х1=(0;4;36;0;16) F(X1) = 24

В рядку оцінок є одне відємне число. Тому Р1 – визначальний стовпець

Min = ( 36/38*3;16/4;9) = 54/19 – визначальний рядок Р3

Таблиця № 3

№ рядкаБазис

Сб

Р0

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

1

Р1

554/19103/38-1/190
2

Р2

6100/19012/575/570
3

Р5

0136/1900-14/5722/571
4F870/190021/385/190

X3= ( 54/19;100/19;0;0;136/19) F3(X3) = 45 15/19

В рядку оцінок нема відємних значень, тому даний опорний план є оптимальним. Але не виконується умова цілочисельності, тому слід застосувати відсічення по методу Гоморі.

2. Застосування і побудова відсічення по методу Гоморі

х1=54/19, х2=100/19

До системи обмежень основного завдання добавляємо ще одну нерівність виду: F(a*ij)*xij>= F(b*ij), де a*ij і b*ij дробови частини чисел.

Під дробовою частиною числа а розуміють найменше невідємне число в і таке, що а – в є цілим числом.Якщо в оптимальному плані вихідного завдання дробового значення приймають декілька змінних, то додаткова нерівність будується для змінної, в якої найбільша дробова частина.

F(x1)>F(x2) (16/19 >5/19)

-3/38х3-18/19х4 + х6 = -16/19

таблиця № 4

№ рядкаБазис

Сб

Р0

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

Р6

1

Р1

554/19103/38-1/1900
2

Р2

6100/19012/575/5700
3

Р5

0136/1900-14/5722/1910
4

Р6

0-16/1900-3/38

-18/19

0

1

5F870/190023/385/1900

Х4 = ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19) F(X4) = 45 15/19

Т.к. опорний план містить відємну змінну то треба застосувати подвійний

с. м.

3.

Відшукання розвязку ЗЛП подвійним с-м включає слідуючі етапи:

1. Знахдять опорне рішення

Х4 = ( 54/19;100/19;0;0;135/19;-16/19) F(X4) = 45 15/19

2. Перевіряють знайдений опорний розвязок на оптимальність.

Розвязок не оптимальний, тому слід перейти до нового опорного рішення.

3. Вибираемо визначальний рядок. Визначальним називається той, який відповідає найбільшому за модулем відємному значенню в стовпцю Ро

Рядок № 4

4. Вибираємо визначальний стовпчик. Той, який відповідає найменшему відношенню рядка оцінок до ньгого. (по модулю)

Min = (23/38*38/3;5/19*19/18) = 5/18 стовпець Р4

Таблиця № 5

№ рядкаБазис

Сб

Р0

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

Р6

1

Р1

526/9101/1200-1/18
2

Р2

6140/27011/36005/54
3

Р5

01048/17100-13/380111/9
4

Р4

08/9001/1210-19/18
5F410/9007/12005/18

Х5= (26/9;140/27;0;0;8/9;1048/171) F5 = 45 5/9

F(x1) = f ( 2 8/9) = 8/9

F (x2) = f ( 5 5/27) = 5/27

-1/12х3 – 17/18х6 + х7 = -8/9

таблица № 6

№ рядкаБазис

Сб

Р0

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

Р6

Р7

1

Р1

526/9101/1200-1/180
2

Р2

6140/27011/36005/540
3

Р5

01048/17100-13/380111/90
4

Р4

08/9001/1210-19/180
5

Р7

0-8/900-1/1200

-17/18

1

6F410/9007/1200

5/18

0

Таблица № 7

№ рядкаБазис

Сб

Р0

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

Р6

Р7

1

Р1

550/17103/34000-1/17
2

Р2

6260/51011/570005/57
3

Р5

01608/32300-436/96901011/17
4

Р4

032/17003/17100-19/17
5

Р6

016/17003/34001-18/17
6F770/170019/340005/17

Х6= ( 50/17;260/51;0;32/17;1608/323;16/17) F6 = 45 5/17

Будуємо нове відсічення:

F(x1) = f(2 16/17) = f(16/17) = 16/17

F(x2) = f (5 5/51) = f(5/51) = 5/51

F(x1)> F(x2)

-3/34x3 – 16/17x7 + x8 = -16/17

таблица №8

№ рядкаБазис

Сб

Р0

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

Р6

Р7

Р8

1

Р1

550/17103/34000-1/170
2

Р2

6260/51011/570005/570
3

Р5

01608/32300-436/96901022/170
4

Р4

032/17003/17100-19/170
5

Р6

616/17003/34001-18/170
6

Р8

0-16/1700-3/34000

-16/17

1
7F770/170019/340005/170

Таблица №9

№ рядкаБазис

Сб

Р0

Р1

Р2

Р3

Р4

Р5

Р6

Р7

Р8

1

Р1

53103/3200000
2

Р2

65011/9600000
3

Р5

070/1900-521/91201000
4

Р4

03009/3210000
5

Р6

02003/1600100
6

Р7

01003/3200011
7F450017/3200000

Х*=(3; 5) F*=45

4. Геометирчна интерпретація процесу розвязку.

Геометирчна интерпретація процесу розвязку дозволяє наглядно проілюстровати процесс знаходження оптимального плану.

1) Будують прямі, рівняння яких отримують в результаті заміни в обмеженнях знаків нерівностей на знаки =.

10x1 + 6x2 =60 (1)

-4x1 + 9x2 = 36 (2)

4x1 - 2x2 = 8 (3)

x1=0, (4)

x2=0 (5)

Графіком рівняння x1 = 0 є вісь ординат, x2 =0 – вісь абсцисс.

Графіки решти рівнянь будують так. Оскільки графіки – це прями, то достатньо для кожного рівняння знайти дві точки, задовільнюючі йому, і через них провести пряумю.

2) Визначають область допустимих значень.

Область допустимих значень знаходиться в перший чверті координат, т.к. x1,x2³0 x1,x2-цілі числа

На коорд. Площині вибирають довільну точку і перевіряють виконання тотожністів рівняннях-обмеженнях. Якщо тотожність вірна, то дана нпівплощина – площина напівплощина допустимих рішень.

3) Будують радіус-вектор.


10


М


4


(2)

6

-9

(3)

(1)

-4


10


В М


4

( I )

-38/3