Потрійний інтеграл

ПОТРІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ

1. Поняття потрійного інтеграла. Умови його існування та властивості

Схема побудови потрійного інтеграла така сама, як і звичайного визначеного інтеграла та подвійного інтеграла.

Нехай функція визначена в обмеженій замкненій області . Розіб'ємо область сіткою поверхонь на частин , які не мають спільних внутрішніх точок і об'єми яких дорівнюють . У кожній частині візьмемо довільну точку і утворимо суму

,(1)

яка називається інтегральною сумою для функції за областю . Нехай – найбільший з діаметрів областей .

Якщо інтегральна сума (1) при має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області на частини , ні від вибору в них точок , то ця границя називається потрійним інтегралом і позначається одним із таких символів:

або .

Таким чином, за означенням

,(2)

де – функція, інтегровна в області ; – область інтегрування; і – змінні інтегрування; (або ) – елемент об'єму.

Якщо по тілу розподілено масу з об'ємною густиною в точці , то маса цього тіла знаходиться за формулою

. (3)

Формула (3) аналогічна формулі (1.8) і може розглядатися як механічний зміст потрійного інтеграла, коли підінтегральна функція невід'ємна в області . Якщо всюди в області покласти , то з формули (2) випливає формула для обчислення об'єму тіла :

.(4)

Потрійний інтеграл є безпосереднім узагальненням подвійного інтеграла на тривимірний простір. Теорія потрійного інтеграла аналогічна теорії подвійного інтеграла, тому в більшості випадків ми обмежимося лише формулюваннями тверджень і короткими поясненнями.

Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області , то вона в цій області інтегрована.

Властивості потрійних інтегралів.

1. Сталий множник можна винести за знак потрійного інтеграла:

Потрійний інтеграл від суми кількох інтегровних функцій дорівнює сумі потрійних інтегралів від доданків:

3. Якщо в області інтегрування , то

4. Якщо функції та визначені в одній і тій самій області і , то

5. (Адитивність потрійного інтеграла.) Якщо область інтегрування функції розбити на частини і , які не мають спільних внутрішніх точок, то

6. (Оцінка потрійного інтеграла.) Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області , яка має об'єм , то

де і відповідно найменше і найбільше значення функції в області .

7. (Середнє значення функції.) Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області , яка має об'єм , то в цій області існує така точка , що

Величина

називається середнім значенням функції в області .

2. Обчислення потрійного інтеграла

Обчислення потрійного інтеграла зводять до обчислення повторних, тобто до інтегрування за кожною змінній окремо.

Нехай область обмежена знизу і зверху поверхнями і , а з боків циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі . Позначимо проекцію області на площину через (рис. 1) і вважатимемо, що функції і неперервні в .

Рисунок 1 – Область

Якщо при цьому область є правильною, то область називається правильною у напрямі осі . Припустимо, що кожна пряма, яка проходить через кожну внутрішню точку паралельно осі , перетинає межу області у точках і . Точку назвемо точкою входу в область , а точку – точкою виходу з області , а їхні аплікати позначимо відповідно через і . Тоді , і для будь-якої неперервної в області функції має місце формула

.(5)

Зміст формули (5) такий. Щоб обчислити потрійний інтеграл, потрібно спочатку обчислити інтеграл за змінною , вважаючи та сталими. Нижньою межею цього інтеграла є апліката точки входу , а верхньою – апліката точки виходу . Внаслідок інтегрування отримаємо функцію від змінних та .

Якщо область , наприклад, обмежена кривими і , де і – неперервні функції, тобто

, то, переходячи від подвійного інтеграла до повторного (п. 1.3), отримаємо формулу

,(6)

яка зводить обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів. Порядок інтегрування може бути й іншим, тобто змінні і у правій частині формули (6) за певних умов можна міняти місцями.

Якщо, наприклад, область правильна в напрямі осі :

де – неперервні функції, то

Зокрема, якщо областю інтегрування є паралелепіпед:

то

. (7)

У цьому разі інтегрування виконується в будь-якому порядку, оскільки область правильна у напрямі всіх трьох координатних осей .

3. Заміна змінних в потрійному інтегралі

Заміну змінної в потрійному інтегралі виконують за таким правилом: якщо обмежена замкнена область взаємно однозначно відображується на область за допомогою неперервно диференційовних функцій , , , якобіан в області не дорівнює нулю:

і – неперервна в , то справедлива формула

. (8)

На практиці найуживанішими є циліндричні та сферичні координати. При переході від прямокутних координат до циліндричних (рис.4, а), пов'язаних з співвідношеннями

;

якобіан перетворення

З формули (8) отримуємо потрійний інтеграл у циліндричних координатах:

.(9)

Назва «циліндричні координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня є циліндром, прямолінійні твірні якого паралельні осі .

При переході від прямокутних координат до сферичних

(рис. 4, б), які пов'язані з формулами

Рисунок 4 – Координати: а) циліндричні; б) сферичні

;

якобіан перетворення

З формули (8) знаходимо потрійний інтеграл у сферичних координатах:

. (10)

Назва «сферичні координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня є сферою. При обчисленні потрійного інтеграла в циліндричних чи сферичних координатах область , як правило, не будують, а межі інтегрування знаходять безпосередньо за областю , користуючись геометричним змістом нових координат. При цьому рівняння поверхонь та , які обмежують область , записують у нових координатах.

Зокрема, якщо область обмежена циліндричною поверхнею та площинами , то всі межі інтегрування в циліндричній системі координат сталі:

і не змінюються при зміні порядку інтегрування. Те саме буде у сферичних координатах у випадку, коли – куля: або кульове кільце. Наприклад, якщо – кульове кільце з внутрішньою сферою , то рівняння цієї сфери в сферичних координатах має вигляд

або

звідки . Аналогічно – рівняння зовнішньої сфери, тому

У випадку, коли – куля , у цій формулі слід покласти . Інших будь-яких загальних рекомендацій, коли необхідно переходити до тієї чи іншої системи координат, дати неможливо. Це залежить і від області інтегрування, і від підінтегральної функції. Іноді потрібно написати інтеграл у різних системах координат і лише після цього вирішити, в якій з них обчислення буде найпростішим.

Приклад

1. Обчислити інтеграл , якщо область обмежена поверхнями і .

Розв’язання

Область є конусом (рис. 5).

Рисунок 5 – Область

Рівняння конічної поверхні, яка обмежує область , можна записати у вигляді , а саму область подати таким чином: , де – круг радіуса з центром . Тому даний потрійний інтеграл можна звести до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів у прямокутних координатах:

Проте зручніше перейти до циліндричних координат . Тоді прообраз круга є прямокутник , прообраз конічної поверхні – плоска поверхня , а прообраз області – область . Якобіан переходу до циліндричних координат дорівнює , підінтегральна функція в циліндричних координатах дорівнює. Зводячи потрійний інтеграл за областю до послідовного обчислення трьох визначних інтегралів, отримаємо

Зазначимо, що розставлення меж інтегрування в циліндричних координатах, як правило, виконують, розглядаючи не область , а зміну циліндричних координат в області . Наочно видно, що в області змінна змінюється від до , при кожному значенні змінна змінюється від до , а для кожної точки області змінна змінюється в області від (значення в області ) до (значення на конічній поверхні).

4. Деякі застосування потрійного інтеграла

інтеграл потрійний обчислення змінний

1. Обчислення об'ємів. Якщо деяке тіло є обмеженою і замкненою

областю , що має об'єм , то згідно з формулою (4)

.(11)

Застосування у механіці. Нехай – обмежена замкнена область простору , яку займає деяке матеріальне тіло з густиною , де – неперервна функція в області , тоді: