Скачать

Формирование эконом-математической модели

Формирование экономико-математической модели.

Постановка задачи.

Пусть имеется пять предприятий-изготовителей и одиннадцать потребителей одинаковой продукции. Известны производственные мощности изготовителей и потребности потребителей. Суммарные мощности предприятий больше потребности потребителей.

Производственные мощности изготовителя составляют Ai. Потребность потребителя продукции равна Bj.

На выпуск единицы продукции изготовитель i расходует Ri затрат.

Известны затраты на доставку единицы продукции из пункта i в пункт j – Cij.

Издержки транспорта значительны и должны быть включены в целевую функцию.

Требуется составить такой план производства и поставок, чтобы суммарные расходы на производство и транспортировку были минимальны.

Математическая формулировка задачи.

Удовлетворение всех потребностей:

Xij = Bj

Неотрицательность грузовых потоков:

Xij >= 0

Соблюдение ограничений мощности:

Xij <= Ai

Целевая функция:

(Ri + Cij)*Xij -> min

От обычной транспортной задачи поставленная задача отличается тем, что показатель оптимальности складывается из двух составляющих. Однако, общие затраты на производство и транспортировку определяются простым суммированием.

Таким образом, поставленная задача является открытой транспортной задачей.

Исходные данные

ПредприятиеА1А2А3А4А5
Производственные мощности135160140175165
Затраты на ед. продукции в рублях11993817062
ПотребителиВ1В2В3В4В5В6В7В8В9В10
Спрос потребителей30456050456579874430

Матрица транспортных затрат, руб.

(получена на основе данных по сети)

ПотребителиB1B2B3B4B5B6B7B8B9B10
ОтправителиНомера вершин31224351930169315
A1241344564414631384118
A233472212211371236236
A32635147331516241024
A42140403839313742294251
A51321161947131918102419

Суммированием затрат на производство и транспортных затрат в каждой клетке матрицы получаем расчетную матрицу.

Расчетная матрица стоимостных затрат.

ПотребителиB1B2B3B4B5B6B7B8B9B10
Отправи телиРесурсы
A1135160153164183160165150157160137
A216014011510511410610010512995129
A3140116958811482869710591105
A417511011010810910110611299112121
A5165837881109758180728681

Так как транспортная задача открытая, то мощности превышают потребности. Часть поставщиков в оптимальном плане остается недозагруженной. Для решения задачи в матричной форме вводится фиктивный потребитель – дополнительный столбец с потребностью, равной избытку ресурсов над реальными потребностями.

Решение транспортной задачи.

Исходные данные.

ПотребителиB1B2B3B4B5B6B7B8B9В10В11
Отправи телиРесурсы30456050456579874430240
A11351601531641831601651501571601370
A2160140115105114106100105129951290
A31401169588114828697105911050
A4175110110108109101106112991121210
A51658378811097581807286810

Итого 775

Решение

ПотребителиB1B2B3B4B5B6B7B8B9B10B11
Отправи телиРесурсы30456050456579874430240
A11351601531641831601651501571601370

135

A2160140115105114106100105129951290

49

44

67

A31401169588114828697105911050

45

65

30

A4175110110108109101106112991121210

20

87

30

38

A51658378811097581807286810

30

45

60

30

Итого 775

Для подтверждения правильности решения оптимальный план, полученный в данной таблице проверяется методом потенциалов на соблюдение условий оптимальности .

Условие оптимальности выглядит следующим образом:

Vij – Uij <= Cij

Vij – Uij = Cij , если Xij > 0

Для всех клеток матрицы разность потенциалов столбца и строки меньше или равна показателю оптимальности, для занятых клеток точно равна его значению.

Первый потенциал может быть присвоен любой строке или столбцу. В данном случае первый потенциал присвоен базисной клетке, где затраты на транспортировку максимальны (А4 – В10).

Проверка решения методом потенциалов.

ПотребителиB1B2B3B4B5B6B7B8B9B10B11

ОтправителРесурсы30456050456579874430240

A11351601531641831601651501571601370

150

135

A2160140115105114106100105129951290

150

49

44

67

A31401169588114828697105911050

158

45

65

30

A4175110110108109101106112991121210

150

20

87

30

38

A51658378811097581807286810

150

30

45

60

30

233

228

231

259

240

244

255

249

245

271

150

ПотребителиB1B2B3B4B5B6B7B8B9B10B11
ОтправителРесурсы30456050456579874430240
A1135504862746465455150350

135

A21603010351000300270

30

79

44

7

A314020401900620101720

60

45

35

A41750560567017190

50

27

98

A516500027022018027

30

45

60

30

Далее следует сравнить Целевую функцию в решении задачи (F1) и целевую функцию, полученную при решении потенциалов (F2), если F1 > F2, то план оптимален.

ПотребителиB1B2B3B4B5B6B7B8B9B10B11
ОтправитеРесурсы30456050456579874430240
A11351601531641831601651501571601370

135

A2160140115105114106100105129951290

49

44

67

A31401169588114828697105911050

45

65

30

A4175110110108109101106112991121210

20

87

30

38

A51658378811097581807286810

30

45

60

30

Цел. Ф-ия (F1)

2490

3510

4860

5450

3690

5590

8055

8613

4180

3630

0

Цел. Ф-ия (F1)

50068

ПотребителиB1B2B3B4B5B6B7B8B9B10B11
ОтправителРесурсы30456050456579874430240
A11351601531641831601651501571601370

135

A2160140115105114106100105129951290

30

79

44

7

A31401169588114828697105911050

60

45

35

A4175110110108109101106112991121210

50

27

98

A51658378811097581807286810

30

45

60

30

Цел. Ф-ия (F2)

2490

3510

5280

5450

3690

6010

8295

6993

4180

2430

0

Цел. Ф-ия (F2)

48328

Т.к. 50068 > 48328 , то план оптимален, т.е. условие оптимальности соблюдается во всех клетках матрицы, следовательно задача решена правильно.

Вывод.

Разработанный оптимальный план обеспечивает минимальные затраты на производство и транспортировку продукции из пяти пунктов производства в десять пунктов потребления.

На основе решения транспортной задачи определены поставки каждого пункта производства в пункты потребления, производственные программы по заводам изготовителям и резервы производственных мощностей.

Резерв производственной мощности на заводе А1 составляет 135 единиц (поставки фиктивному потребителю), на заводе А2 – 7 единиц, на заводе А4 – 98 единиц, остальные предприятия резервов не имеют.

Минимальные затраты на транспортировку и производство составили 48328 рублей. Затраты на производство продукции в составе суммарных затрат определяются умножением затрат на производство единицы продукции на производственную программу и составят:

119*0+93*153+81*140+70*77+62*165= 14229+11340+5390+10230=41189 рублей или 85,2%.

Затраты на транспортировку составляют 7139 рублей или 14,8%. Такую долю транспортных затрат для готовой продукции следует считать довольно высокой, хотя по отдельным видам дешевых массовых грузов эта доля может быть значительно выше.